QUIZ MATH PERATURAN 1). Jawablah pertanyaan dengan menggunakan cara lengkap dan jelas 2). Jangan menjawab tanpa cara dan spam 3). Jika ada yang kurang jelas, bi

[tex]Siapkan Bahan :\\ x^{3} + \frac{1}{x^{3}} = (x + \frac{1}{x})^{3} - 3 . x . \frac{1}{x} . (x + \frac{1}{x}) \\ x^{3} + \frac{1}{x^{3}} = (2 cos 12)^{3} - 3 (2 cos 12) \\ x^{3} + \frac{1}{x^{3}} = 8 cos^{3}12 - 6 cos 12 \\ \\ x^{5} + \frac{1}{x^{5}} = (x + \frac{1}{x})^{5} - 5 (x^{3} + \frac{1}{x^{3}}) - 10 (x + \frac{1}{x}) \\ x^{5} + \frac{1}{x^{5}} = (2 cos 12)^{5} - 5 (8 cos^{3} 12-6cos12) - 10 (2 cos 12) \\ x^{5} + \frac{1}{x^{5}} = 32 cos^{5}12 - 40 cos^{3}12 + 30cos12 - 20 cos12\\ [/tex]
[tex]x^{5} + \frac{1}{x^{5}} = 32 cos^{5} 12 - 40 cos^{3} 12 + 10 cos 12[/tex]

32 cos⁵12° = 8 (2 cos² 12°)² cos 12°
RUMUS : cos 2x = 2cos²x - 1
                  = 8 (cos 24° + 1)² cos 12°
                  = 8 (cos² 24° + 2 cos 24° + 1) cos 12°
                  = 4 (2 cos² 24° + 4 cos 24° + 2) cos 12°
                  = 4 (cos 48° + 1 + 4 cos 24° + 2) cos 12°
                  = 4 (cos 48° + 4 cos 24° + 3) cos 12°
                  = 4 cos 12° cos 48° + 16 cos 12° cos 24° + 12 cos 12°
                  = 2 (2 cos 12° cos 48°) + 8 (2 cos 12° cos 24°) + 12 cos 12° 
RUMUS : 2 cos x cos y = cos (x + y) + cos (x - y)
                  = 2 (cos 60° + cos (-36°)) + 8 (cos 36° + cos (-12°)) + 12 cos 12°
INGAT : cos (-α) = cos α
                  = 1 + 2 cos 36° + 8 cos 36° + 8 cos 12° + 12 cos 12°
                  = 10 cos 36° + 20 cos 12° + 1

40 cos³12° = 20 . 2 cos² 12° . cos 12°
RUMUS : cos 2x = 2cos²x - 1 -_-
                  = 20 (cos 24° + 1) . cos 12°
                  = 20 cos 12° cos 24° + 20 cos 12°
                  = 10 (2 cos 12° cos 24°) + 20 cos 12°
RUMUS : 2 cos x cos y = cos (x + y) + cos (x - y) -_- -_-
                  = 10 (cos 36° + cos (-12°)) + 20 cos 12°
INGAT : cos (-α) = cos α -_- -_- -_-
                  = 10 cos 36° + 10 cos 12° + 20 cos 12°
                  = 10 cos 36° + 30 cos 12°

[tex]x^{5} + \frac{1}{x^{5}} = 32 cos^{5} 12 - 40 cos^{3} 12 + 10 cos 12[/tex]
= 10 cos 36° + 20 cos 12° + 1 - (10 cos 36° + 30 cos 12°) + 10 cos 12°
= 10 cos 36° + 20 cos 12° + 1 - 10 cos 36° - 30 cos 12° + 10 cos 12°
= 10 cos 36° - 10 cos 36° + 30 cos 12° - 30 cos 12° + 1
= 1 (A) ⇒ Jawab -_- -_- -_- -_-                                  

By complex number, we have :
[tex] (cos\theta + isin\theta) ^5 = cos^5 \theta + i5cos^4\theta.sin\theta - 10cos^3\theta.sin^2\theta - i10cos^2\theta.sin^3\theta + 5cos\theta.sin^4\theta + isin^5\theta [/tex]

[tex] (cos\theta + isin\theta)^5 = cos^5 \theta - 10cos^3\theta.sin^2\theta + 5cos\theta.sin^4\theta + i(5cos^4\theta.sin\theta - 10cos^2\theta.sin^3\theta +sin^5\theta) [/tex]

Note that :
[tex] i = \sqrt{-1} [/tex]

So, we get :
[tex] cos5\theta = cos^5 \theta - 10cos^3\theta.sin^2\theta + 5cos\theta.sin^4\theta [/tex]

[tex] cos5\theta = cos^5 \theta - 10cos^3\theta.(1-cos^2\theta) + 5cos\theta.(1 - 2cos^2\theta + cos^4 \theta) [/tex]

[tex] cos5\theta = cos^5\theta + 10 cos^5 \theta + 5cos^5\theta - 10cos^3\theta - 10cos^3\theta + 5cos\theta [/tex]

We simply get :
[tex] cos5\theta = 16 cos^5\theta - 20 cos^3\theta + 5 cos\theta...(1) [/tex] (identity proven)

We know that
[tex] x^5 + \frac{1}{x^5} = (x + \frac{1}{x})^5 - 5(x^3 + \frac{1}{x^3}) - 10(x+\frac{1}{x}) [/tex]

[tex] x^5 + \frac{1}{x^5} = (2cos 12)^5 - 5(8cos^3 12 - 6cos 12) - 10(2cos 12) [/tex]

[tex] x^5 + \frac{1}{x^5} = 32cos 12 - 40cos^3 12 + 10cos 12... (2)[/tex]

So from (1) and (2), it's basically :
[tex] x^5 + \frac{1}{x^5} = 2cos 5.12[/tex]
[tex] x^5 + \frac{1}{x^5} = 2cos 60[/tex]
[tex] x^5 + \frac{1}{x^5} = 1[/tex]